Một cách chính thức, nếu V và W là các không gian vectơ trên cùng một trường, chúng ta nói rằng ánh xạ f : V → W {\displaystyle \mathbf {f} :V\rightarrow W} là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ x và y trong V và bất kỳ vô hướng a trong K, chúng ta có

f ( x ± y ) = f ( x ) ± f ( y ) {\displaystyle \mathbf {f} (x\pm y)=\mathbf {f} (x)\pm \mathbf {f} (y)\,} (tính kết hợp) f ( a x ) = a f ( x ) {\displaystyle \mathbf {f} (ax)=a\mathbf {f} (x)\,}               (tính thuần nhất).

Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định f   "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là, cho bất kỳ vector x1,..., xm và các vô hướng a1,..., am, chúng ta có

f ( a 1 x 1 + ⋯ + a m x m ) = a 1 f ( x 1 ) + ⋯ + a m f ( x m ) . {\displaystyle \mathbf {f} (a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})=a_{1}\mathbf {f} (x_{1})+\cdots +a_{m}\mathbf {f} (x_{m}).}

Thông thường, V và W có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu V và W thuộc không gian trên trường K như xác định ở trên, chúng ta nói về K-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, liên hợp của một số phức là một R-ánh xạ tuyến tính C → C, nhưng nó không phải là C-tuyến tính.